Teleskoperande serie
Teleskoperande serie eller teleskopsumma, en matematisk serie med egenskapen att nästan alla termer tar ut varandra när serien summeras.
Ett enkelt exempel är serien
- ∑n=2∞1n(n−1)=limN→∞∑n=2N1n(n−1)=limN→∞12+16+112+...+1N(N−1){displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {1}{n(n-1)}}=lim _{Nrightarrow infty }sum _{n=2}^{N}{frac {1}{n(n-1)}}=lim _{Nrightarrow infty }{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}+{frac {1}{12}}+...+{frac {1}{N(N-1)}}}
där man kan skriva om varje term enligt
1n(n−1)=n−(n−1)n(n−1)=1n−1−1n{displaystyle {frac {1}{n(n-1)}}={frac {n-(n-1)}{n(n-1)}}={frac {1}{n-1}}-{frac {1}{n}}}.
Genom att sätta in detta i serien får man nu
∑n=2∞1n−1−1n=limN→∞1−12+12−13+13−14+...+1N−1−1N=limN→∞1−1N=1{displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {1}{n-1}}-{frac {1}{n}}=lim _{Nrightarrow infty }1-{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}-{frac {1}{3}}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{4}}+...+{frac {1}{N-1}}-{frac {1}{N}}=lim _{Nrightarrow infty }1-{frac {1}{N}}=1}.
Denna artikel om matematisk analys saknar väsentlig information. Du kan hjälpa till genom att tillföra sådan.
